Дещо про хот-доги...

Життя складається непередбачуваним чином... Важко сказати, що ти будеш робити завтра.

Отже, хлопець (айтішник) опинився на продажу хот-догів. Принаймні він працює на себе. Вартість хот-дога - 2 одиниці валюти (конкретна валюта не має значення). Він використав свій розум і почав поступово змінювати ціну, щоб збільшити свій дохід. Ідея слушна: поспостерігайте за тим, як люди купують, і знайдіть точку максимального прибутку.

В першу чергу необхідно було з’ясувати, чи існує зв’язок між ціною та продажами (лінь радить уникати непотрібної роботи), тобто знайти коефіцієнт кореляції та перевірити його статистичну значущість. Результати надихають: коефіцієнт високий і статистично значущий. Він використав рангову кореляцію Спірмена, щоб уникнути перевірки зразка на нормальність.

Кореляція рангу Спірмена rho:

S = 568.49, p-value = 2.135e-09

альтернативна гіпотеза: справжній rho не дорівнює 0

зразкові оцінки:

rho = -0.9877423

Він наніс результати на графік (рис. 1) і задумався. Принаймні, він думав, що робити далі. Інтервал обмежений, і висновок однозначний: чим вища ціна, тим менше продажів. Але це не відповідає на питання, яка ціна максимізує прибуток.

На допомогу приходить головна робоча конячка аналізу даних — лінійна модель. Побудуємо модель виду:

Sales ~ Price. (1)

It looks better, now there's a model (Fig. 2):

Sales = 2717.7 - 157.7*Price (2)

показано червоною пунктирною лінією на графіку. ІТішник не перевірив модель на відповідність теоремі Гаусса-Маркова (перевірю пізніше, коли встигну — усім знайоме!). Але питання залишилося відкритим: за яку ціну хот-дог принесе найбільший дохід?

Продовжимо. Цілком ймовірно, що ця ціна може не лежати в межах спостережуваного інтервалу. Тут ми використаємо коефіцієнти з моделі (2), отримані методом найменших квадратів. Ми створимо модель доходу:

Revenue = Sales * Price = (2717.7 - 157.7*Price) * Price (3)

Ця модель є квадратичною, з параболою, що відкривається донизу, вказуючи десь на максимум. Ми зведемо всі дані в один графік (рис. 3). На графіку: суцільний зелений – дохід за інтервал від 2 одиниць (вартість) до 14 одиниць (кінець спостережень), синій і червоний, як на рис. 1 і 2. Результат: оптимальна ціна баш

8.62 units/hot dog.

І наш герой зрозумів — він зрозумів мету регресу!

Але йому потрібно було перевірити результат. Він взяв похідну від доходу по відношенню до ціни і встановив її до нуля:

Revenue' = 2717.7 - 2157.7Price = 0 (4)

і отримав

8.617 units/hot dog.

Це ще не кінець історії!